Un cercle ne se définit pas par la perfection de sa forme, mais par la rigueur mathématique de ses points. On ne le trace pas seulement, on l’étudie, on le démonte, on l’interroge. À partir d’une simple corde, il devient possible de retrouver le rayon, ce fil invisible qui relie le centre à chaque point du bord. Le problème paraît abstrait, il est pourtant concret, précis, presque tactile pour qui aime la géométrie.
Géométrie : Cercles Définition
Le cercle, ce compagnon de nos premiers tracés à la règle et au compas, rassemble tous les points situés à la même distance d’un centre. Ce centre, pivot de la figure, détermine l’ensemble du cercle, qu’on dessine d’un geste ferme ou qu’on analyse à l’aide d’une équation. Seule la longueur du rayon différencie un cercle d’un autre : tout part de là. Voici les éléments fondamentaux à connaître pour comprendre et manipuler cette figure :
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- Le rayon relie le centre à n’importe quel point de la frontière du cercle.
- Le diamètre traverse le cercle en passant par son centre, reliant deux points opposés. Il vaut deux fois le rayon.
- Une corde relie deux points du cercle, sans forcément passer par le centre.
- L’arc est une portion du contour du cercle.
- Le périmètre, ou plutôt la circonférence, désigne la longueur totale du bord : on la calcule avec la formule 2 × π × R, R étant le rayon.
- L’aire mesure la surface intérieure du cercle, avec la formule π × R × R.
Représentation des différentes propriétés du cercle Tangente à un cercle
Considérons un point A sur un cercle C, de centre O. La tangente en A n’a qu’un seul point commun avec le cercle : justement A. Cette ligne, extérieure à tout le reste de la figure, obéit à des propriétés géométriques strictes :
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- En traçant le rayon OA jusqu’au point A, la tangente s’obtient en dessinant la droite perpendiculaire à ce rayon en A.
- Inversement, toute droite passant par A et perpendiculaire au rayon OA est nécessairement la tangente au cercle en ce point précis.
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Angles et angles au centre
Théorème de l’angle au centre :
Soit H un point d’un cercle C de centre O, et A, B deux autres points distincts du cercle. Si les angles AHB et AOB interceptent le même arc AB, alors la mesure de l’angle au centre est le double de celle de l’angle inscrit : $2 \widehat{AHB} = \widehat{AOB}$.
Théorème de l’angle inscrit
Soit M un point du cercle C de centre O et de rayon R, A et B deux autres points distincts. L’angle $ \widehat{AMB} $ est alors un angle inscrit du cercle.
Représentation de l’angle inscrit et de l’angle au centre Triangle rectangle et cercle
On parle d’un triangle circonscrit à un cercle quand ses trois sommets se trouvent sur le cercle. Si ce triangle est rectangle, une propriété remarquable surgit : son hypoténuse est aussi un diamètre du cercle. Plus précisément :
- Le centre du cercle se trouve exactement au milieu de l’hypoténuse.
- Le segment partant du sommet de l’angle droit jusqu’à l’hypoténuse mesure la moitié de celle-ci, autrement dit la longueur du rayon du cercle.
À l’inverse, si un triangle est inscrit dans un cercle de centre O et que son côté le plus long (hypoténuse) coïncide avec le diamètre, alors ce triangle est nécessairement rectangle.
Le segment AB passe par le centre du cercle et correspond au diamètre Exercices corrigés
EXERCICES
Exercice 1 Soit un quadrilatère ABCD construit de sorte que les droites (BD) et (CD) soient tangentes à un cercle de centre A. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
Exercice 2
- Considérons un cercle C de centre A et de rayon R = 5 cm.
- EF est un diamètre du cercle C.
- M est un point du segment tel que AM = 4 cm.
- P est un point du cercle tel que MP = 3 cm.
Démontrer que le triangle AMP est rectangle en M.
Exercice 3
Soit le cercle C de centre O, avec les points R, P et M situés sur le cercle, comme le montre la figure ci-dessous :
Les points R, P, M du cercle
1. L’angle $ \widehat{ROP} $ mesure 60 degrés. Déterminer la mesure de l’angle $ \widehat{RMP} $.
2. a) Identifier l’arc intercepté par l’angle inscrit $ \widehat{RPM} $.
b) Trouver l’angle au centre associé à $ \widehat{RPM} $.
c) Sachant que $ \widehat{RPM} $ mesure 100 degrés, calculer la mesure de l’angle au centre correspondant.
Corrigé
Exercice 1
Le cercle C est centré en A. La droite (BD), tangente au cercle en A, est donc perpendiculaire au rayon issu de A. Il en va de même pour la droite (CD), aussi tangente au cercle en A : elle est perpendiculaire à un autre rayon. Les deux droites sont donc perpendiculaires, et les segments issus d’A jusqu’aux points de tangence ont la même longueur, c’est-à-dire le rayon du cercle. Un quadrilatère répondant à ces critères est un carré.
ABCD est donc un carré.
Exercice 2
Pour prouver qu’un triangle est rectangle, on s’appuie sur le théorème de Pythagore. Ce théorème affirme que si, dans un triangle ABC, la somme des carrés de deux côtés est égale au carré du troisième côté, alors le triangle est rectangle. Appliquons-le ici :
P appartient au cercle, donc AP = rayon = 5 cm. Calculons :
$AM^2 + MP^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
$AP^2 = 5^2 = 25$
On constate que $AM^2 + MP^2 = AP^2$. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AMP est donc rectangle en M.
Exercice 3
1. L’angle $ \widehat{ROP} $ étant central, il correspond au double de l’angle inscrit $ \widehat{RMP} $ qui intercepte le même arc. Donc $ \widehat{RMP} = \frac{1}{2} \times 60 = 30$ degrés.
2.a. L’arc intercepté par l’angle $ \widehat{RPM} $ est celui reliant R à M en passant par P.
2.b. Pour trouver l’angle au centre associé à $ \widehat{RPM} $, on relie R et M au centre O, formant l’angle $ \widehat{ROM} $.
2.c. La mesure de l’angle au centre $ \widehat{ROM} $ est le double de celle de l’angle inscrit $ \widehat{RPM} $, soit $2 \times 100 = 200$ degrés.
$ \widehat{ROM} = 200$ degrés.
À travers ces situations, le cercle dévoile ses lois avec une rigueur sans faille : chaque corde, chaque tangente, chaque angle nous rappelle que la géométrie n’a rien d’un jeu d’enfant, mais qu’elle éclaire la logique même du monde.
